1.6.4. Метод дифференцирования

Каждый экономический показатель является математической функцией, аргументами которой являются факторы. Суть метода дифференцирования в представлении изменения показателя в виде дифференциала функции,

Дифференциал является суммой отдельных слагаемых. Каждое из этих слагаемых отражает влияние изменения одного из факторов на изменение показателя.

Из математического анализа известно, что прирост функции y=y(x₁, x₂, .....,x_n) при переходе из точки А(x₀₁,x₀₂,.....,x_0n) в точку В(x₁₁,x₁₂,.....,x_1n) определяется как

Dy= dy + έ,

где dy - дифференциал функции в точке А,

έ - ошибка разложения.

Если точки А и В близки, έ является очень малой величиной, значением которой можно пренебречь. Тогда можно записать:

Dy » dy.

Дифференциал - главная линейная часть приращения функции относительно приращения аргументов определяется как

dу = (dу/ dx₁ )* Δx₁ + (dу/ dx₂ )* Δx₂ + … + (dу/ dx_n )* Δx_n =

= Σ(dу/ dx_i)* Δx_i = Σу’_0i * Δx_i

где у’_0i= dу/ dx_i - частная производная функции y по переменной x_i, вычисленная в точке А, то есть при x₁ = x₀₁, x₂ = x₀₂, ... , x_n = x_0n.

Δx_i - приращение переменной x_i при переходе функции из точки А в точку В:

Dx₁=x₁₁ - x₀₁ , Dx₂ = x₁₂ - x₀₂ , ......, Dx_n=x_1n-x_0n.

Влияние изменения фактора xi на изменение показателя y определяется величиной

Δy_i ≈ dy_i = у’_0i * Δx_i

Алгоритм применения метода дифференцирования выглядит следующим образом:

1. определяется формула показателя y=y(x₁, x₂, .....,x_n);

2. находятся частные производные этой функции по каждому из факторов: у’_i= dу/ dx_i;

3. рассчитываются значения - у’_0i частных производных при базисном уровне факторов x₁ = x₀₁, x₂ = x₀₂, ... , x_n = x_0n;

4. рассчитываются приращения факторов при замене их базисных значений текущими: Dx₁=x₁₁ - x₀₁ , Dx₂ = x₁₂ - x₀₂ , ......, Dx_n=x_1n-x_0n;

5. определяется влияние изменения каждого из факторов x_i на изменение показателя y. Это влияние характеризуется величиной dy_i = у’_0i * Δx_i;

6. определяется совместное влияние изменения всех факторов на изменение показателя:

Δy ≈ Σ dy_i.

Преимуществом метода дифференцирования перед методом цепных подстановок является отсутствие проблемы очередности подстановок. Недостатком метода дифференцирования является наличие ошибки разложения («неразложимого остатка») – έ. На практике эта ошибка может быть значительной, поэтому ее следует учитывать при проведении факторного анализа.

Пример 1.6.4.

Определить методом дифференцирования влияние изменения физического объема продукции и отпускной цены на изменение выручки от реализации по данным примера 1.6.3.

Решение:

1. Показатель имеет вид В_РП =Ц*М.

2. Частные производные:

- по фактору-аргументу Ц: В’ц = dВ / dЦ = d (Ц*М)/dЦ= М;

- по фактору-аргументу М: В’м = dВ / dМ = d (Ц*М)/dМ= Ц.

3. Значения частных производных при базисном уровне факторов:

В’₀ ц = М₀=12 ; В’₀ м = Ц₀=2,4.

4. Приращения факторов:

DМ = М₁ - М₀ = 11 – 12 = - 1;

DЦ = Ц₁ - Ц₀ = 2,5 – 2,4 =0, 1.

5. Влияние изменения факторов на изменение показателя:

- цена: ΔВ ц ≈ 12 * 0,1 = 1,2 млн.р.;

- физический объем: ΔВ м ≈ 2,4 * (-1) = - 2,4 млн.р.

6. Совместное влияние изменения факторов на показатель:

Δ В_РП = ΔВ ц + ΔВ м = 1,2 – 2,4 = - 1,2 млн.р.

Вывод: общее изменение выручки D В_РП = -1,2 млн.р.; за счет изменения цены выручка увеличилась на ΔВ ц = +1,2 млн.р., за счет изменения физического объема выручка уменьшилась на ΔВ ц = -2,4 млн.р.